Cohen-lenstra Sums over Local Rings

où R est un anneau commutatif local et u est un entier non-negatif, la sommation s’étendant sur tous les R-modules finis, à isomorphisme prés. Ce problème est motivé par les heuristiques de Cohen et Lenstra sur les groupes des classes des corps de nombres, où de telles sommes apparaissent. Si R a des propriétés additionelles, on reliera les sommes ci-dessus à une limite de fonctions zêta des modules libres R, ces fonctions zêta comptant les sous-R-modules d’indice fini dans R. En particulier on montrera que cela est le cas pour l’anneau de groupe Zp[Cpk ] d’un groupe cyclique d’ordre p sur les entiers p-adiques. Par conséquant on pourra prouver une conjecture de [5], affirmant que la somme ci-dessus correspondante à R = Zp[Cpk ] et u = 0 converge. En outre on considère des sommes raffinées, oùM parcourt tous les modules satisfaisant des conditions cohomologiques additionelles.